Thứ Bảy, 1 tháng 10, 2016
Nguyễn Hoài Vân: Định lý Gödel: cơn bão trong tách trà
Định lý "bất
toàn" của Gödel (1906-1978) cho rằng mặc dù mọi cố gắng của lý luận, vẫn
luôn có những phát biểu toán học được tin là đúng nhưng không thể chứng minh.
Khám phá này mở ra một cánh cửa cho nhiều người xông vào công kích điều mà họ
cho là "sự ưu thắng của lý tính". Đối với họ, đỉnh cao của lý tính, động
cơ của phần lớn các ngành khoa học, là toán học, và, với định lý Gödel (1931),
lâu đài toán học rạn nứt, khiến sự ưu thắng của lý tính coi như sụp đổ.
Xin cùng các bạn
bỏ ra vài phút xét qua định lý này.
Từ luận lý học
Cổ Đại …
Định lý "bất
toàn" của Gödel lập lại một bế tắc của luận lý học đã được ghi nhận từ thời
Cổ Đại. Vào thế kỷ 6 trước Công Nguyên, người ta đã truyền tụng một câu của
Epimenide :
« Mọi người
dân đảo Crète đều nói dối ».
Vấn đề là người
nói câu đó (Epiménide) lại là một người dân đảo Crète !
Thế thì :
Nếu Epimenide
nói thật, đưa đến sự phủ định câu : "Mọi người dân đảo Crète đều nói dối",
vì có một người dân đảo Crète nói thật, là chính ông ta, thì hóa ra … Epimenide
nói dối, và chúng ta rơi vào một nghịch lý.
Một phiên bản gọn
gàng hơn của nghịch lý này là phát biểu : "Câu nói này sai". Nếu
"đúng" là câu nói này sai, thì hóa ra nó lại không sai !
… Đến định lý
Gödel
Trong tinh thần
của những suy nghĩ đến từ thời Cổ Đại này, định lý Gödel cho thấy một mánh lới
để phá hủy mọi hệ thống luận lý xây dựng trên những tiền đề, như toán học. Chỉ
cần tuyên bố : « phát biểu này không thể được chứng minh », là người
ta liền rơi ngay vào bế tắc. Nếu tuyên bố ấy đúng, thì nó không thể được chứng
minh, và hệ thống bị gọi là « bất toàn » (incomplet). Nếu tuyên
bố ấy sai, tức là « phát biểu này chứng minh được », thì tai vạ sẽ
càng to hơn, vì điều ấy có nghĩa là chúng ta có thể chứng minh được một điều …
sai lầm ! Hệ thống luận lý trong trường hợp này, bị gọi là « tan
rã » (inconsistant).
Một cách cụ thể,
Gödel chỉ ra rằng mọi phát biểu A đều chứng minh được, nhờ vào một phát biểu X.
A được chứng minh, nếu X đúng. Ông ký hiệu A là một số nguyên và X, một dãy số
nguyên. A được chứng minh vì những đặc tính của dẫy số X được thừa nhận là đúng
(1). Tiếp theo đó, Gödel đề nghị một phát biểu B liên hệ với phát biểu Y, nhưng
« Y đúng » lại cho ra « không B ». Tức là B chỉ được chứng
minh nếu B sai. Nói cách khác, nếu B đúng thì nó không thể được chứng minh (bất
toàn), và nếu nó sai, thì người ta chứng minh một điều sai (hệ thống tan rã). Tổng
hợp hai giả thuyết (B đúng và sai), là một tình trạng bất định.
Cơn bão trong
trường tư tưởng
Vì sao định lý
Gödel lại là một cơn bão trong trường tư tưởng ? Vì người ta vốn tin là hệ
thống lý luận của toán học hoàn toàn chặt chẽ. Mọi phát biểu trong lãnh vực này
đều hoặc đúng hoặc sai. Tính cách « đúng », « sai » được chứng
minh từ những tiền đề (axiomes), tức những phát biểu không cần chứng minh, được
sử dụng như nền tảng trên đó người ta xây dựng một tòa nhà toán học. Thí dụ các
tiền đề Euclide (ba thế kỷ trước CN ) cho ra « tòa nhà » hình học
mang tên ông, trong đó, từ một điểm ngoài một đường thẳng chỉ có thể kẻ một đường
thẳng duy nhất song song với đường thẳng ấy. Nhưng người ta có thể xây dựng những
tòa nhà khác, gọi là hình học « phi Euclide », thí dụ với vô số (hay
zero) đường song song với một đường thẳng từ một điểm ngoài đường thẳng ấy.
Trong mọi trường
hợp, để được coi là đúng, một phát biểu toán học cần được chứng minh từ những
tiền đề của một hệ thống bằng những lập luận nối kết nhau theo quy định của luận
lý học. Sự hiện hữu của những phát biểu không thể được chứng minh, cho thấy
tính « bất toàn » của hệ thống liên hệ, một điều mà nhiều nhà toán học,
tụ tập quanh Hilbert (1862-1943) (2), không chấp nhận. Với « định lý bất
toàn » của Gödel, cuộc tranh luận đóng lại, với nhận định : mọi hệ thống
luận lý xây dựng trên những tiền đề, đều « bất toàn », tức bao hàm những
phát biểu không thể chứng minh được là đúng hay sai (bất định) (3).
Biến một phát
biểu thành tiền đề ?
Nhiều người sẽ
nghĩ là nếu một phát biểu không thể chứng minh được, thì tại sao không biến nó
thành tiền đề, tức một điều không cần phải chứng minh ?
Ý kiến này đưa đến
hai hệ quả :
1) Chúng ta sẽ
không còn nằm trong hệ thống ban đầu nữa, vì nền tảng của nó, tức các tiền đề,
đã bị thay đổi. Nói cách khác, chúng ta không thể duy trì sự chặt chẽ của một hệ thống (tránh sự tan rã của nó), từ bên
trong hệ thống ấy (định lý thứ hai của Gödel).
2) Phát biểu
không thể chứng minh được, có thể đúng, nhưng cũng có thể sai (bất định), nên nếu biến nó thành tiền đề, thì phát
biểu ngược lại cũng có thể được biến thành tiền đề, và sự bất định, thay vì áp
dụng cho một phát biểu, sẽ áp dụng cho cả hai hệ thống cùng một lúc !
Bây giờ giả sử
có những phát biểu mà chúng ta chắc chắn là đúng thì tại sao không biến tất cả
những phát biểu ấy thành tiền đề để thoát khỏi phạm vi của định lý Gödel ?
Câu trả lời là khi ấy chúng ta sẽ có một hệ thống với vô số tiền đề, không thể
tự phân định bằng chính nó. Trong thực tế, hệ thống ấy sẽ không có cách nào để
xác định rằng một phát biểu có phải là một tiền đề hay không ?
Cơn bão trong
tách trà :
Như đã nói ở
trên, định lý Gödel được viện dẫn để làm lung lay niềm tin của nhiều người vào
thành lũy của lý tính, được đồng hóa với toán học. Thật ra, nó chỉ củng cố niềm
tin vào sự « phi lý » của những người vốn đã có khuynh hướng ấy, chứ
không ảnh hưởng gì nhiều đến cộng đồng các nhà toán học hay khoa học (4), vì những
lý do sau :
1) Trong nội bộ toán học, những trường hợp ứng
với định lý Gödel rất hiếm, gần như không bao giờ gặp, nên đa số các nhà toán học
vẫn bình tĩnh làm việc mà không bận tâm
là điều mình đang tìm cách chứng minh là một ứng dụng của định lý Gödel. Xin nhắc
lại là các bạn đọc của tôi đã gặp qua một trường hợp có thể áp dụng định lý này
trong : Khách sạn Hilbert - Khi vô cực lớn hơn vô cực
(http://y-khoa-xa-hoi-khoa-hoc.blogspot.fr/2016/08/khach-san-hilbert.html)
2) Định lý Gödel
lập lại một quan điểm đã được biết đến từ thời Cổ Đại, là không thể bảo vệ một
hệ thống luận lý (xây dựng trên những tiền đề) từ bên trong nó. Tức là phải
thoát ra ngoài nó (đặt ra tiền đê mới), tạo nên một hệ thống mới, để lại gặp
khó khăn tương tự, khiến lại phải ra ngoài, tạo hệ thống khác v.v… một cách vô
cùng tận. Điều này cũng xác nhận một điều đã được biết, là con đường suy tư không
có điểm dừng. Tuy nhiên, không thể vì nó không có điểm đến mà bước ra ngoài con
đường ấy, rồi quỳ mọp thờ lạy những chuyện « vô lý ».
3) Luận lý học,
toán học, và lý tính là những điều riêng biệt :
- Toán học sử dụng
luận lý như động cơ của nó (cũng như nó là động cơ của nhiều ngành khoa học). Sự
kiện một hệ thống toán học (dựa trên những tiền đề) có thể lâm vào bế tắc trong
vài trường hợp hiếm hoi, không có nghĩa là luận lý học bị phủ định (vì vẫn phải
dùng luận lý để chứng minh là hệ thống kia gặp bế tắc !).
- Tương tự như
thế, một hệ thống luận lý (xây dựng trên những tiền đề) gặp bế tắc trong vài
trường hợp đã được nhận dạng từ nhiều ngàn năm, cũng không có nghĩa là luận lý
học nói chung bị phủ định. Vả lại, luận lý học luôn phát triển và tiến hóa, với
những phát hiện và ứng dụng mới …
- Lý tính, nền tảng
của luận lý, của toán, khoa học và triết học, vì thế, vẫn là một thành trì bảo
vệ con người trước những niềm tin « vô lý », tức không phù hợp với thực
nghiệm và lý luận. Một số niềm tin « vô lý » có thể được coi như những
ý kiến, đôi khi với những ích lợi thực tế được nhìn nhận bởi chính lý tính,
nhưng chúng không thể xen vào lãnh vực của hiểu biết đúng nghĩa.
Nguyễn Hoài Vân
22/9/2016
(1) Chúng ta có
thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách hình dung « 1 + 1 = 2 » là đúng, vì
những đặc tính của dãy số tự nhiên (tiền đề Peano) được công nhận là đúng.
(2) Hilbert lập
ra một chương trình nghiên cứu để xác định sự chặt chẽ của toàn thể toán học,
được xây dựng trên một số tiền đề giới hạn.
(3) Thật ra, đây
là một sự tổng quát hóa, vì Gödel xây dựng định lý đầu tiên của mình (có một định
lý thứ hai) trên số học áp dụng cho tập hợp các số tự nhiên.
(4) Phát hiện của
Gödel giúp khai triển một số lý thuyết trong ngành điện toán (Alonzo Church,
Alan Turing …), hướng đến việc tiên liệu một hàm số có thể giải được bằng máy
tính hay không ?
